π, El irracional más famoso

El famoso número Pi es uno de los primeros “raritos” que todo estudiante aprende en Geometría básica. Cuando comenzamos a estudiar la circunferencia (aquella figura “redondita”) aparece este número que lo simbolizamos con la letra griega pi = π y el profesor dice que su valor numérico es 3,14. Esto es

La verdad es que esto NO es del todo cierto, pues 3,14 es una aproximación de π (pi), pero para evitar dar explicaciones más técnicas a los pequeños (o simplemente por miedo a que la clase se vuelva muy “loquilla”), se suele afirmar que π = 3,14. Lo que en realidad deberíamos decir y escribir en nuestras pizarras es:

Lo cual se lee: “pi es aproximadamente 3,14”, pero… ¿De dónde sale eso? ¿El profesor lo inventa? ¿Es el gobierno quien obliga a decir semejante cosa? Obviamente no se trata de ninguna conspiración y es lo que procederemos a explicar a continuación de una manera cada vez más famosa. Antes, decir que a través de la historia el valor de “pi” no siempre fue el mismo. Para aprender más sobre esto pueden visitar aquí.

Para comenzar vamos a imaginar que tenemos un alambre con forma de circunferencia y podemos hacerle un corte en la parte inferior (punto A):

Ahora, podemos abrir dicho alambre y estirarlo hasta que quede totalmente “recto”. Toda esta longitud en rojo equivale al perímetro de la circunferencia:

Acto seguido, vamos a poner sobre el perímetro, un segmento igual a su diámetro (segmento azul) todas las veces que se pueda, uno al lado del anterior y notaremos que solo se podrá poner tres veces como máximo:

Este último hecho afirma que “el diámetro cabe en la circunferencia (perímetro), tres veces y un poquito“.

La pregunta más natural luego de este experimento es: “Si cambiamos el tamaño de la circunferencia, es decir, hacemos variar su radio, ¿cambiará el número de veces que cabe el diámetro en el perímetro de la circunferencia?”

La respuesta es NO, y como este valor NO cambia, sea una circunferencia más grande o una más pequeña, entonces decimos que: “el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia (perímetro) es siempre tres veces y un poquito, es un valor constante y le llamaremos “pi” (en griego, perímetro = περιφέρεια).

Para poder visualizar este hecho, podemos hacer variar el radio, deslizando el punto “r” y también desplazar el centro C de la circunferencia en el siguiente applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/mwxj5xeq (de mi autoría). Aquí se puede verificar que si hacemos variar el tamaño de la circunferencia (variando su radio), la cantidad de diámetros sigue siendo 3 veces y el poquito.

En resumen, si estiramos una circunferencia y encima colocamos su diámetro, veremos que siempre cabe π (tres veces y un poquito), sin importar el tamaño de la circunferencia. En lenguaje más algebraico, siendo “d” el diámetro de la circunferencia y P su perímetro, se tiene:

El “poquito” siempre resulta un decimal y es aproximadamente igual a 0,14 del diámetro (acto de fe).

De todo lo anterior, tenemos la (tan famosa) fórmula del perímetro de una circunferencia: siendo “d” su diámetro, su perímetro siempre será:

Nos vemos.