Pares vs Impares

Comencemos imaginando que disponemos de cierta cantidad de objetos, como por ejemplo, porotos. Dicha cantidad la podemos separar en grupos de igual tamaño o no. De este simple ejercicio surgen dos cantidades naturalmente: el número de grupos y el número de objetos que posee cada grupo. Vamos a considerar solo dos grupos.

Diremos que la cantidad inicial de porotos representa un número par si es existe una división en dos grupos en la que la cantidad de objetos que posee cada grupo es la misma.

Por ejemplo, si comenzamos con 8 porotos podemos dividir esta cantidad de varias maneras, como por ejemplo, en dos grupos; uno con 6 porotos y otro con 2 porotos (imagen superior). Notamos, además, que existe una división en la que es posible formar dos grupos: cada uno con 4 porotos. Como cada uno de los dos grupos posee la misma cantidad de porotos, entonces decimos que el número 8 es un número par (imagen inferior).

Podemos repetir el experimento para otras cantidades como 6, 12, 4, 10, etc. y en todas ellas notaremos que es posible formar dos grupos que contengan la misma cantidad de porotos. Nos encontraremos con otras cantidades en las que no es posible hallar una división en dos grupos con igual tamaño. A estos últimos números se les llamará impares, como por ejemplo, 3, 5, 13, etc.

A partir de este simple experimento, se pueden obtener varias conclusiones:

1- Toda cantidad de porotos se puede clasificar en par ó impar (i.e. todo natural es par ó impar).

2- Incluso si no tengo poroto alguno, puedo imaginar en separar esa cantidad (cero porotos) en dos grupos iguales: ambos grupos sin porotos (i.e. el cero se puede considerar par).

3- Si agregamos un poroto a una cantidad par, ésta se transforma en impar y viceversa (para pasar de un par a un impar, basta sumar 1 y viceversa). También vale restar 1 a un par y obtenemos un impar, y viceversa, pero no podemos restar eternamente, ¿o sí?.

4- Para números muy grandes se vuelve tedioso dividir en dos grupos, contar los porotos y verificar que cada grupo posee la misma cantidad, a menos que cambie la estrategia, (¿Cómo cuál?).

Aunque no nos gusten las legumbres, sabemos que los porotos se comen y no queremos pasar horas y horas contando y separando porotos. Es por ello que debemos agradecer a nuestro sistema de numeración indo-arábigo que viene a mejorar nuestra comprensión, abstracción, a ahorrarnos tiempo, a mejorar la manipulación en los cálculos y lo más importante, nos permite avanzar hacia otros saberes.

Es así que todo número que termine en 0, 2, 4, 6 u 8 es par. Los que terminan en 1, 3, 5, 7 o 9 son impares. Simple, fácil. Cierto? Es, cuando dejamos los rústicos porotos y usamos estos dígitos para expresar cantidades numéricas, que ganamos tiempo en saber cuándo un natural es par o no. Fin del tema, ¿o no?

Me gusta pensar en los números impares como los sucesores de los pares, es decir, si tenemos un natural par, entonces al sumarle una unidad tenemos su sucesor que será un impar. Así también, podemos decir que un impar es el antecesor de un par pero nos encontramos con un dilema: ¿todo natural par tiene un antecesor? (conjeture).

Para cerrar el tema, ¿Qué sucede si sumamos solo números pares? respuesta corta: el resultado siempre es par. Respuesta larga: demuéstrelo. ¿Y qué pasa si sumamos solo números impares? Respuesta: a veces se obtiene un par y otras un impar. ¿Por qué? Conjeture y demuestre 😉

Más curioso es lo siguiente:

¿Qué sucede si sumamos una cantidad finita de números pares consecutivos, comenzando por el 2? El resultado siempre será el producto de dos naturales consecutivos!!! (demuestre este hecho)

¿Qué sucede si sumamos una cantidad finita de impares consecutivos, comenzando por el 1? El resultado siempre será un cuadrado perfecto!!!!

Esto último lo veremos en una siguiente nota.

🙂